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전기차 속도의 동적 제어시스템 모델링을 위해, 다음과 같은 차량의 종방향 동역학 모델을 고려한다:

여기서 Frt=Fat+Fa(t)는 결합 하중력(Combined load force)이며, F_a(t)는 차량에 종방향으로 작용하는 공기역학적 항력이다. 풍속이 상대적으로 작다고 가정하면, 차량에 작용하는 공기역학적 항력(Air drag force)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 F_a(t)는 차량에 작용하는 중력 및 타이어에 작용하는 구름저항의 결합력을 의미하며, 식 (3)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 α(s(t))는 차량의 위치 s(t)의 도로 경사각(Road slope angle)이다.

본 논문에서는 연속시간 차량 동역학 모델로부터 이산시간 모델을 구성하기 위해, Euler Forward 방법을 적용하였다.

위의 식 (4)는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

한편, 식 (5)에서 vk∶=vtk로 정의하면, (5)의 식으로부터 (6)의 식을 얻을 수 있다.

여기서 결합 하중력은 식 (7)과 같이 정의된다.

시간 영역에서의 차량 동역학 모델을 바탕으로, 차량의 이동거리(또는 간격기반 전방 이동거리의 인덱스)를 독립변수로 갖는 공간 영역에서의 차량 동역학 모델을 정의할 수 있다. 우선 아래와 같이 사다리꼴 규칙(Trapezoidal rule)를 이용하여 공간간격변수와 시간간격변수 사이의 관계를 다음과 같이 정의하고

시간간격변수를 다음과 같이 나타낼 수 있다:

식 (6)에 식 (9)를 대입하면, 공간 영역에서의 차량 종방향 동역학 모델을 다음과 같이 얻을 수 있다.

전동화 차량의 파워트레인 내 모터의 물리적인제약조건을 다음과 같이 고려한다. 전동화 차량에 사용되는 AC 모터의 견인 전동력은 모터가 발생시킬 수 있는 최대 기계적 토크 또는 모터의 회전축에 연결된 차량의 바퀴의 회전 속도, 즉 차량의 속도에 의해 제한되며, 이는 다음의 식으로 나타낼 수 있다:

여기서 F-m,kcpvk는 위치 k에서 차량의 속도에 따라 제한되는 모터의 최대 구동력이며, 이는 모터의 최대 출력 P-m을 차량의 속도 v_k > 0로 나눈 값으로 계산된다.

본 연구에서는, 시간영역 또는 공간영역에서의 주행 시간 최소화의 목적으로 다음의 총 운행시간 t_N을 목적함수로 고려한다.

전체 주행 시간은 차량이 이동 중에 있는 운전 시간과 k번째 위치에 있는 충전소에서 배터리를 충전하는 충전 시간 τch,k의 합으로 나타낼 수 있으며, 이를 최적제어 문제의 비용함수의 일부로서 설정하여 차량으로 하여금 주행시간을 최소화하도록 한다.

본 연구에서는, 전기차의 주행 경로상 정해진 수의 충전소가 정해진 위치에 있음을 가정하고, 주행 시간을 최소화함과 동시에 제한 속도 범위 내에서 정해진 배터리 SoC(State of Charge)의 범위를 유지하며 주행하는 시나리오²⁰⁾를 가정한다.

이러한 전기차 충전 및 속도 계획을 위하여, 선행 연구⁹⁾에서 제시된 다음의 비선형 최적제어 문제를 고려한다.

여기서 차량 내 모터의 구동 효율과 충전 속도는 상태변수와 제어변수에 의해 결정되며, 이는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

또한, 본 문제에서는 여유 변수 δ를 도입하여 배터리의 SoC에 대한 제약조건의 완화를 허용한다. 이는 실시간 최적화에서, 배터리 충전량이 낮은 상태에서 장거리 운행 계획 시, 주어진 Hard constraint를 만족시키는 속도 계획의 해가 없는 문제를 해결하기 위한 것이다. 가중치 ω_d를 충분히 크게 설정하면, 이러한 제약조건의 완화는 Hard constraint를 만족시키는 계획이 있을 경우에 최적 해에 영향을 미치지 않는다.

비용함수의 각 항에 대한 가중치 ω_d, ω_e, ω_b는 각각 여유변수, 모터의 기계적 힘, 브레이크 힘에 대한 가중치이며, 가중치를 조절함에 따라 최적화 문제를 풀 때 주행 시간과 에너지 사용량의 중요도를 조절할 수 있다. 주행 시간과 에너지 소모량은 상충 관계(Trade-off)에 있으며, 따라서 주행 시간 감소를 고려한 비용함수 항의 가중치를 증가시키면 에너지 사용량은 증가한다. 반면 에너지 사용량 감소를 고려한 비용함수 항에 대한 가중치를 증가시키면 주행 시간이 증가한다.

본 절에서는 Eco-driving을 위해 이차 비용함수를 갖는 공간영역에서 정의된 비선형 최적제어 문제를 다음과 같이 정의한다.

여기서, F-m,k는 아래와 같이 정의한다.

위 문제에서는 물리적인 전체 주행시간과 충전 시간, 그리고 구동 에너지와 기계적 제동으로 손실되는 에너지를 비용함수로 고려하였고, 여유변수 δ를 최소화하기 위한 목적으로 비용함수에 δ를 포함하였다. 또한 상태변수 x_k는 k번째 위치(또는 Distance)에서의 차량 속도의 제곱 vk2로 정의하며, 이에 따라 주행 시간 최소화를 고려하는 시간 영역에서의 비용함수 항 t_N은 공간 영역에서의 비용함수 항 xkΔsk2로 변환된다. 차량에 작용하는 결합 하중력은 x_k에 대해 Affine 하며 다음과 같이 쓸 수 있다.

또한, 위 문제에서 차량이 충전소가 있지 않은 구간을 지날 때 (k∉K), τ-ch,k=0로 정하며, 새롭게 도입한 계수 ω_t는 주행시간에 대한 가중치이다. 위 문제의 상태변수와 제어변수를 정리하면 다음과 같다.

본 절에서는 이차 계획법(Quadratic programming) 기반 접근법을 위해 공간영역에서 볼록 최적제어 문제를 다음과 같이 정의한다.

위 문제에서 모터의 효율과 배터리 충전 속도는 상수 값으로 고정한다.

한편, 엄밀하게는 모터의 견인과 기계적 감속이 동시에 작동하지 않도록 하는 모터 힘과 기계적 브레이크의 제동력에 대한 제약조건 F_m,k⋅F_{b, k}≤0을 고려해야 하지만, 식 (13)의 최적제어 문제에서는 F_m,k≥의 조건으로 모터의 회생제동을 고려하지 않았기 때문에 해당 제약조건은 F_m,k⋅F_{b, k=}0이 된다. 여기서 비용함수의 F_m,k와 F_{b, k}의 양의 제곱항들로 인하여, F_m,k⋅F_{b, k=}0조건을 직접적으로 고려하지 않아도 최적해는 조건을 항상 만족하게 된다.

3.2, 3.3절에서 제시된 비볼록 최적제어 문제의 최적해를 얻기 위해, 비선형 모델예측제어 방법을 적용한다. 이를 위해, Quasi-newton interior point 알고리즘을 기반으로 하는 비선형 계획법의 수치적 방법을 사용하여 해를 구하였다.

3.4절에서 제시된 볼록 최적제어 문제의 최적해를 얻기 위해, 선형 모델예측제어 방법을 적용한다. 이를 위해, Active-set 방법 또는 Quasi-newton interior point 알고리즘을 기반으로 하는 이차 계획법의 수치적 방법을 사용한다.

Fig. 1은 연속 및 이산, 시간 및 공간 영역에서의 상태 변수 및 제어 입력변수 간의 관계를 나타낸 그림이다. 이에 따라, 공간 영역의 속도계획법은 시간 영역에서의 속도 계획법으로 다음의 과정을 통해 변환할 수 있다. 현재의 속도 vtk=vsk와 다음 Space에서의 속도 v*Sk+1가 주어졌을 때, 시점 t∈tk,tk+1에서의 목표 속도 v_target은 다음과 같이 결정할 수 있다.

여기서 다음 샘플링 시점 t_k+1은

로 결정된다. 위의 시간 영역에서의 목표 속도 설정은 파워트레인(모터) 피드백 제어의 기준 값으로 사용될 수 있다.

Fig. 1 
State and control inputs in time and space domain

NMPC 1의 시뮬레이션에서는 3.2절에서 제시된 시간영역 비선형 최적제어 문제의 해를 찾기 위해 비선형 모델예측제어 방법을 적용하였으며, 비용함수의 각 항에 대한 가중치는 ω_d = 1 × 10⁶, ω_e = 1 × 10^-7, ω_b = 1 × 10^-6와 같이 설정하였다. 이로부터 시뮬레이션을 진행한 결과 차량이 모든 충전소에서 배터리를 충전하는 결과를 얻었다. NMPC 1의 경우, 차량은 충전소 1,3,4에서 거의 비슷한 시간을 충전에 사용한다. 또한 주행을 마쳤을 때 허용된 SoC 범위(0.1 ~ 0.9)의 하한에 도달하는데, 이로부터 전체 주행 시간 중 충전 시간이 차지하는 비율이 최소화 될 것임을 추측할 수 있다. 또한 차량이 에너지 사용을 줄이기 위해 의도적으로 감속하여 주행 시간과 충전 시간 사이의 균형을 달성하는 것을 시사한다.

Fig. 4 
Comparison of travel time between MPCs

Fig. 5 
Comparison of energy consumption

NMPC 2의 시뮬레이션에서는 3.3절의 공간영역 비선형 최적제어 문제의 해를 얻기 위해 비선형 모델 예측 제어 방법을 적용하였다.

또한 비용함수의 각항들에 대한 가중치는 ω_t = 1 × 10⁶, ω_d = 1, ω_e = 1 × 10^-5, ω_b = 1 × 10^-5와 같이 설정하였다. 그 결과로 차량은 NMPC 1의 결과보다 약 0.15 % 적은 주행 시간을 기록하였고, 충전 시간은 약 0.9 % 증가, 전기적 에너지 사용량은 약 0.02 % 감소하였다. 한편, Fig. 7의 배터리 SoC 프로파일에서 SoC가 허용된 범위를 넘어 충전 및 방전하는데, 이는 여유변수 ζ의 도입이 배터리 SoC에 대한 제약조건을 완화하는 것을 의미한다.

Fig. 6 
Solution trajectories obtained from nonlinear MPC with nonconvex OCP¹¹⁾ (NMPC 1)

Fig. 7 
Solution trajectories obtained from nonlinear MPC with quadratic costs¹³⁾ (NMPC 2)

Fig. 8 
Solution trajectories obtained from linear MPC with convex OCP¹⁴⁾ (Linear MPC)

Linear MPC의 시뮬레이션에서는 3.4절의 공간영역 볼록 최적제어 문제의 해를 얻기 위해 이차 계획법 기반 접근 방법을 사용하였고, 비용함수의 각 항에 대한 가중치는 NMPC 2 시뮬레이션에 적용된 값을 사용한다. 그 결과 NMPC 1 대비 총 주행시간은 약 0.14 % 증가하였고, 충전 시간은 약 1 % 감소하였으며, 전기적 에너지 사용량은 약 7.21 % 감소하였다.

한편, Linear MPC 시뮬레이션 결과의 경우, NMPC 시뮬레이션의 결과보다 에너지 사용량이 상대적으로 낮은데, 이는 모터 효율이 상대적으로 높은 속도 및 Traction force 영역에서 차량이 주행하기 때문에 나타나는 현상으로 해석된다.

또한 연산시간(CPU Time)를 비교한 결과는, Linear MPC의 경우 평균 29.49초, NMPC 1의 경우 평균 54.54초, NMPC 2는 평균 43.17초의 계산시간이 소요되어, 3.4절에서 제시한 볼록화 기반 Linear MPC 방법이 NMPC 1과 NMPC 2 방법들과 비교하여 각각 약 46 % 그리고 32 % 만큼 계산시간이 감소하였다.