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비공기압 타이어 구조는 선행 연구에서²⁾ 활용 빈도가 높은 오그제틱, 허니콤 구조와 이미 상용화된 미쉐린(Michelin) 구조로 구성하여 모델링을 수행하였다. 각 구조에 2, 4개의 원주방향 원형관 서포터를 삽입하여 서포터가 없는 기본 모델을 포함한 총 9개의 모델을 구성하였으며 Fig. 1과 Fig. 2에 서포터 형상과 9가지 모델을 각각 나타내었다.

Fig. 1 
Finite element(FE) model of airless tire with hoop pipe supporters

Fig. 2 
The case study of airless tire modeling according to lattice structure and supporters

일반 승용차 타이어 직경은 보통 600 mm에서 700 mm 사이이나, 본 연구에서는 프로토타입을 적층 제조하기 위해 베드 크기를 고려하여 킥 스쿠터(Kick scooter) 타이어 크기로 조정하여 직경을 200 mm로 설정하였다.⁷⁾ 모든 비공기압 타이어 모델은 외경 200 mm, 내경 128 mm, 폭 50 mm로 설계하였으며, 두께 2 mm의 원형관 서포터를 삽입하였다. 이를 Fig. 3에 나타내었다.

Fig. 3 
3D CAD model of airless tire

비공기압 타이어의 모델링은 상용 프로그램 ANSYS SpaceClaim을 기반으로 수행하였다. 유한요소 모델은 SOLID187(3D 10-node Tetrahedral) 요소와 SOLID186(3D 20-node Hexahedral) 요소를 혼합한 하이브리드 격자(Mesh)를 사용하여 모델링 하였으며, 이에 대한 요소(Element)와 절점(Node) 수를 Table 1에 나타내었다.

비공기압 타이어는 복잡한 응력 조건과 다양한 환경적 요구를 충족해야 한다. 본 연구에서는 열가소성 폴리우레탄(Thermoplastic polyurethane, TPU)을 타이어 소재로 선정하였다. 이는 뛰어난 탄성과 복원력을 통해 충격 분산 및 진동 흡수에 적합하며, 내마모성과 충격 저항성을 바탕으로 구조적 안정성을 제공한다.⁸⁾

열 전달 해석을 통해 허니콤 구조가 가장 균일한 열 분포를 보였다. 열 분포가 균일할수록 각 구간에서 발생하는 열 응력(σ_thermal)이 감소하며, 이에 따라 열 변형도 줄어드는 경향이 나타난다. 열 응력 측면에서는 오그제틱 구조와 허니콤 구조가 가장 낮은 응력 값을 나타내었다. 열 응력 측면에서도 열 분포와 동일하게 낮은 응력은 적은 변형을 일으킨다. 열 분포해석과 열 응력 해석의 결과를 Fig. 7(a) 및 (b)에 각각 나타내었다.

Fig. 7 
Results of thermal-structural analysis for airless tire models

비공기압 타이어의 정적 구조 해석 결과를 Table 4에 나타내었다. 종, 횡방향 변위 측면에서 Case 9, Case 8 및 Case 6 모델 순서로 각 하중 조건에서 낮은 변위량이 발생함에 따라 강성이 우수한 모델로 평가되었다. 반면, Case 1 모델은 타 구조에 비해 상대적으로 높은 변위를 나타내 낮은 강성을 보였다. 전체 모델을 비교하였을 때, 서포터 삽입으로 인해 변위량이 감소하여 강성이 향상되는 것을 확인하였다.

본 미세스 응력(von-Mises stress, s_VM) 측면에서는 Case 4, Case 6 및 Case 3 모델이 순서대로 낮은 수준의 응력 분포가 나타났다. 이는 응력 집중이 최소화되고 구조적 취약성이 낮음을 의미한다. Case 8 모델의 경우는 1,500 N, 2,000 N에서 소재의 항복 강도를 초과하였다. 전체 모델을 비교하였을 때, 2개 서포터가 삽입된 모델이 상대적으로 높은 σ_VM을 나타내었다. 이러한 결과는 서포터 개수 및 배치 위치가 응력 분포에 영향을 미치는 것을 확인하였다.

CP 균일성의 측면에서 2개의 서포터를 삽입한 모델 (Case 2, Case 5, Case 7)은 중앙으로 하중이 집중되는 결과를 확인하였으며, 이는 타이어의 중앙 마모를 야기할 수 있다.⁹⁾ 서포터를 4개 삽입한 모델이 서포터를 2개 삽입한 모델 대비 균일한 접지압 분포를 나타냈으며 Case 6 모델이 분포 편차가 제일 낮게 나타났다.

2.5.1 고유진동 해석 결과

고유진동수 측면에서는 설계한 킥 스쿠터 타이어 직경(200 mm)과 최대 규정속도(25 km/h)를 고려하여 식 (4)를 통해 663 RPM을 산출하였다.

이를 식 (5)를 통해 11.05 Hz로 변환하여 설계 기준 값으로 설정하였다. Table 5에 나타낸 고유진동수 해석 결과값을 분석하여 전체 모델의 1차 고유진동수가 기준 값인 11.05 Hz를 초과하여 공진 회피 설계의 타당성을 검증하였다. Case 6, Case 9 및 Case 3 모델이 순서대로 높은 1차 고유진동수를 나타내어 동적 안정성 측면에서 상대적으로 우수한 성능을 보였다. Case 1 모델의 경우 상대적으로 낮은 고유진동수가 나타났으나, 여전히 기준 값을 초과하여 안정성을 확보하였다. 이는 원형관 서포터 삽입 여부에 상관없이 허니콤 및 미쉐린 구조가 동적 구조 안정성이 상대적으로 뛰어남을 의미한다.

Fig. 8 
Results of contact pressure distribution using static analysis

N=vπd×60

(4)

f=N60

(5)

Table 5 
Results of natural frequency according to modes

	1st mode (Hz)	2nd mode (Hz)	3rd mode (Hz)
Case 1	97.771	327.91	327.95
Case 2	194.42	342.70	342.77
Case 3	244.99	371.09	371.19
Case 4	158.45	340.10	340.24
Case 5	222.66	390.92	391.01
Case 6	260.1	424.07	424.31
Case 7	110.98	294.63	294.77
Case 8	202.55	319.21	321.18
Case 9	258.51	420.81	421.54

본 연구에서는 열 응력, 구조 강성 및 응력, 고유진동수, 접지압 분포를 종합적으로 분석하였다. 분석 결과, Case 6 모델은 각 하중 조건에서 종, 횡방향의 변위가 작아 강성이 우수하다. 또한, 안정적인 응력 분포와 낮은 σ_VM을 통해 구조적 취약성을 최소화하고 높은 신뢰성을 확보할 것으로 판단하였다. 고유진동수의 경우, 설계 기준 값인 11.05 Hz를 초과하여 공진 회피 설계의 기준을 만족하였다. CP 균일성 측면에서는 균일한 접지압과 낮은 분포 편차를 보여 접지 특성이 뛰어난 것으로 확인하였다. 이러한 결과를 종합적으로 고려하여 최적화 수행 모델을 Case 6으로 선정하였다.

선정된 9개 모델에 대한 열-구조 안정성을 확인하고자 2절에서 열-구조 해석과 정적 구조 해석을 독립적으로 수행하였다. 근사 최적 설계를 위한 3절에서는 열-구조 및 정적 구조 해석을 동시에 고려한 해석 결과를 적용하였다.

허니콤 구조에 4개의 서포터가 삽입된 Case 6 모델을 기반으로 스포크 구조 최적화를 수행하기 위해 설계변수와 목적 및 제한함수를 정의하였으며, 최적화 문제를 수학적으로 정식화 하여 식 (6)에 나타내었다. 이는 CP 균일성, 고유진동수, 허용 응력 제한함수를 만족하며, 스포크 구조의 강성 최대화와 경량화를 목적으로 한다. x₁, x₂는 각각 반경 방향 스포크 두께, 원주 방향 스포크 두께를 의미한다. x₃는 허니콤 셀의 수평 방향 내각이며, x₄는 원주 방향 원형관 서포터의 내경을 의미한다. 설계변수들은 Fig. 9(a) 및 (b)에 나타내었으며, 각 변수는 스포크 구조의 안정성과 강성에 영향을 미치는 요소로 작용한다. 선정된 설계변수 x₁, x₂, x₃은 허니콤 셀의 기하학적 형상(육각형)이 적절히 유지될 수 있도록 구조적 특성을 고려하여 변수 범위를 선정하였으며, x₄는 경량화(w)와 강성(k) 보강의 균형을 달성하기 위해 설정되었다.¹⁰⁾

Fig. 9 
Design variables according to the geometric shape of spoke in airless tire

CP 균일성은 접지압의 최대값과 최소값의 차이를 기반으로 정량화된 지표로 정의되며, 타이어의 접지 성능을 확보하기 위해 해당 값을 0.8이상으로 설정하였다. 스포크 구조의 기준강도(σ)는 앞서 수행한 유한요소해석에 적용된 인장응력 26 MPa과 동일하게 적용하였다. 허용응력(σ_a)은 σ_VM을 통해 확인하였으며, 이를 13 MPa 이하로 제한하여 안전 계수(Safety Factor, S) 2 이상을 만족하도록 설정하였다. 또한, 고유진동수(𝜔)는 해석 결과를 기반으로 9개 모델의 1차 모드 평균값인 194.49 Hz보다 보수적으로 설정하기 위해, 200 Hz 이상으로 설정하였다. 이를 통해 고속 주행 시 공진을 회피하는 설계를 수행하고자 하였다.

스포크 구조 설계변수와 목적 및 제한함수간 민감도 분석을 위해 Table 6과 같이 각 설계변수 상/하한 범위 내에서 3수준 4요인의 직교배열표기반 실험계획법(Design of experiment, DOE)을 수립하였으며,¹¹⁾ 이를 Table 7에 나타내었다. 각 실험점의 성능지수들은 열-정적 구조 해석을 수행하여 결과를 도출하였다. 이를 기반으로 ANOM을 통해 목적 및 제한함수에 대한 각 설계변수의 민감도를 평가하여 최적 설계에 유효한 설계변수를 선정하였다.

스포크 설계변수의 변화가 목적함수와 제한함수에 미치는 영향을 분석하기 위해 직교배열표를 활용하여 ANOM을 수행하였다. Fig. 10은 직교배열표를 기반으로 목적 및 제한함수에 대한 민감도 분석 결과를 나타낸다. 이는 CP 균일성, 고유진동수, 등가 응력, 중량, 강성에 대한 수준 변화에 따른 기울기를 통해 민감도 경향성을 알 수 있다. Fig. 10(a)에서 CP 균일성 측면의 설계변수 x₁은 다른 변수에 비해 낮은 민감도를 보였다. 반면, x₂, x₃, x₄는 상대적으로 큰 변화 폭을 보이며, 중요한 영향을 미치는 변수로 분석되었다. Fig. 10(b)는 고유진동수와 설계 변수 간 민감도를 나타낸다. 설계변수 x₄의 민감도가 낮게 나타나, 상대적으로 낮은 영향을 미치는 것으로 확인하였다. 반면, 설계변수 x₁과 x₂는 고유진동수 변화에 유의미한 영향을 미치는 변수로 분석되었으며, 이는 공진 회피 설계와 구조적 안정성 확보에 중요한 변수임을 알 수 있다. Fig. 10(c)는 σ_VM과 설계변수 간 관계를 보여준다. 설계변수 x₁은 응력 분포에서 높은 민감도를 보여주는 주요 변수로 분석되며, 설계 변경 시 응력 분포에 중요한 영향을 미칠 것으로 판단된다. Fig. 10(d)의 중량 측면에서 설계변수 x₃의 민감도가 낮게 나타나, 경량화를 목표로 하는 설계에서 상대적으로 영향이 적은 변수로 파악되며, x₁과 x₂는 경량화를 위한 유의미한 영향을 미치는 변수로 분석된다. Fig. 10(e)의 강성 측면에서는 설계변수 x₁이 주요한 영향을 미치는 변수로 확인하였다. 앞서 언급한 바와 같이, 고유진동수에서는 설계변수 x₄가 중량에서는 x₃가 상대적으로 낮은 민감도를 보였으나 CP 균일성, σ_VM 및 강성 성능에서는 모든 설계변수가 높은 민감도를 보였음을 확인하였다. 이러한 분석 결과를 바탕으로 대리모델 구축 과정에서 고유진동수는 x₄, 중량은 x₃의 설계변수를 제외하였다.

Fig. 10 
ANOM results of design variables

요인배치법은 전체 설계인자 및 수준을 기반으로 수립된 실험계획을 통해 모든 요인 효과를 고려할 수 있다. 이를 구축하기 위해 데이터를 확보하고자 CCD를 활용하였다. CCD의 실험점 수는 설계변수의 중심점(Center point)과 축점(Axial point)을 포함하며, 각 실험점은 다양한 설계변수 수준에서 성능을 평가하는 데 사용된다. 실험 횟수는 설계변수 개수 k와 중심점 개수 n₀=1를 기반으로 정의되며 식 (7)에 나타내었다.¹²⁾

여기서 2^k은 설계변수 수준에서 모든 요인배치법 실험점 개수, 2k는 축 점을 나타낸다. 본 연구에서는 설계변수 범위 내에서 실험점을 생성하기 위해 ICCD를 채택하였으며, 이를 통해 수립된 설계변수 조합에 대해 2절과 동일한 재료물성 및 경계조건을 통해 FEA를 수행하여 성능지수를 확보하였으며, 이를 Table 8에 나타내었다.

대리모델은 설계 영역에서 제한 및 목적함수 간의 관계를 수학적으로 표현하여 성능을 예측하고 최적화를 수행하는 데 활용된다. 이는 물리적 실험이나 수치 시뮬레이션에 소요되는 비용과 시간을 절감할 수 있다.¹³⁾ 앞서 설계 최적화를 위해 ICCD를 활용하여 성능지수를 확보하였으며, 이를 기반으로 RSM을 적용하여 비공기압 타이어 스포크 구조의 설계변수와 제한 및 목적함수 간의 대리모델을 구축하기 위해 최소 자승법(Least square method)을 적용하였다. Fig. 11은 RSM을 통해 구축한 대리모델의 적합도 R² 값을 도식화 하여 나타낸 결과이다. 앞서 수행한 평균분석 결과를 반영하여, 고유진동수 대리모델에서는 설계변수 x₄, 중량 대리모델에서는 설계변수 x₃를 제외하였다. 고유진동수, 중량, 강성은 2차 대리모델로 생성되었으며, CP 균일성과 σ_VM 모델은 반응의 비선형적 특성을 반영하기 위해 3차 대리모델로 생성되었다. 이러한 대리모델은 CP 균일성, 고유진동수, σ_VM의 제한함수와 경량화 및 강성 최대화 목적함수를 위해 구축되었고, 수학적 표현은 각각 식 (8), (9), (10), (11) 및 (12)에 나타내었다. 이와 같이 구축된 대리모델은 식 (5)의 정식화를 기반으로 제한 및 목적함수로 설정하고 NSGA-II 알고리즘을 이용하여 최적화를 수행하였다.

Fig. 11 
The evaluation of accuracy of surrogate model based on R² value

본 연구에서는 RSM 대리모델을 기반으로 다중목적함수의 최적화를 수행하기 위해 NSGA-II를 통해 최적화를 수행하였다.¹⁴⁾ 기존 단일 목적 최적화와 달리, NSGA-II는 파레토 차트(Pareto chart)를 통해 설계자에게 최적해의 집합을 보여준다.¹⁵⁾ Fig. 12에 제시된 파레토 차트는 NSGA-II를 통해 도출된 결과로, 제한함수를 만족하는 최적해의 집합을 나타낸다. 모든 최적해에 대해 FEA를 통해 검증을 수행하는 것이 이상적이나, 해석 과정에 소요되는 시간 비용 감소를 위해 파레토 차트에서 양단 끝점(Opt. 1, Opt. 3)과 중간 점(Opt. 2)을 추출하여 검증을 수행하였다. 검증 결과는 Table 9에 나타내었다.

Fig. 12 
Optimal Pareto chart obtained from NSGA-II