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이산요소법을 이용한 모래지 노면의 입자들의 거동은 상호간의 법선, 접선 접촉력, 점성력이 작용하여 결정된다. 본 연구에서는 1882년에 헤르츠(Hertz)에 의해 처음으로 제안된 헤르츠 접촉 모델을 이용하였다.⁶⁾ 법선 접촉력은 헤르츠 스프링력, 감쇠(Viscous)력, 점성력으로 이루어지며 식 (3)과 같이 표현된다. 법선 스프링력은 식 (4)와 같으며 영률, 반경, 침투량으로 표현된다.

입자의 반경으로 구해지는 R^*과 영률과 포아송비로 구해지는 E^*는 식 (5)와 (6)으로 표현된다. 침투량은 δ_ij = R_i + R_j - |r_ij|로 표현되며 r_ij = r_i - r_j는 두 입자 사이의 거리를 나타낸다. n = r_ij/|r_ij|은 법선 단위 벡터를 나타낸다. 법선방향의 감쇠력은 식 (7)로 나타내어지며 감쇠 계수와 상대속도로 표현된다. 식 (8)은 입자 사이의 상대속도를 나타내는 식이다. 점착력 모델은 가상의 점착 면적에 대해 힘을 계산하는 방식이며 식 (9)와 같다. 가상의 점착 면적은 접촉 반경에 의해 결정이 되며 식 (10)으로 표현된다. 접촉 반경은 식 (11)과 같이 수직력과 입자 반경, 영률에 의해 결정된다. 접선 접촉력은 Tangential sliding friction contact 모델을 사용하였다. 접선력은 계산된 스프링 감쇠 값과 μ_s × |F_n|을 비교하여 작은 값을 비교하여 계산되며 계산식은 식 (12)와 같다.

접선 속도는 상대속도로 계산되며 식 (13)과 같다. 접선 방향의 유닛 벡터는 식 (14)와 같이 나타낸다. 접선 방향의 침투량은 입자의 접촉 시간부터 접촉이 끝날 때까지의 거리를 계산하며 식 (15)와 같다.

모래는 많은 입자로 이루어져 있어 모래 입자 개개의 물성보다 입자들이 모였을 때의 물성이 필요하다. 이러한 입자들이 모여있을 때 가지는 물성치를 벌크 물성치라 한다. 벌크 물성치는 벌크 밀도와 안식각 실험을 통한 접촉 계수가 있다. 벌크 밀도는 입자 개개의 밀도가 아닌 입자가 모였을 때의 밀도를 나타내는 밀도이며 식 (16)으로 표현된다. 벌크 밀도는 입자의 질량과 입자가 담긴 실린더의 부피를 통해 계산된다. 본 연구에서 사용된 입자의 벌크 밀도는 1426 kg/m³이다. 안식각 측정 실험은 흙이나 모래 같은 분체들을 쌓았을 때 자연 상태로 생기는 경사면이 수평면과 이루는 각을 측정하는 실험이다. 안식각 측정은 Fig. 1(a)와 같이 수행되었으며 폭(w)과 높이(h)를 측정하여 식 (17)과 같이 안식각을 계산하였다. 계산된 안식각은 31°이다.

Fig. 1 
Experiment and simulation for repose angle

접촉파라미터 계산을 위한 안식각 시뮬레이션은 8천개의 입자가 사용되었으며 입자의 반지름은 1 mm로 안식각 시뮬레이션을 수행하였다. 수행된 시뮬레이션은 시행착오법(Trial and error)법을 사용하였으며 변수는 마찰 계수로 설정하였다. Table1은 마찰 계수에 따른 안신각 결과를 나타내었으며 Fig. 1(b)에 30.4°인 안식각 시뮬레이션을 나타내었다. Table 2는 안식각 시뮬레이션에 사용된 입자의 물성치와 접촉 계수 및 입자 수를 나타내었다.

임의의 형상을 가지는 강체와 입자의 접촉을 정의하기 위해 강체를 STL파일형상을 사용하여 통해 삼각형 요소로 모델링 하였다. 입자와 삼각형 요소의 접촉 판별은 Fig. 2와 같이 결정하였다.⁷⁾ 삼각형 요소의 7개 구역에 대해 입자의 위치를 결정하고 투영 점을 결정하였다. 삼각형의 법선 단위 벡터는 두 변의 외적으로 u = PR × QR 로 계산하였다. STL파일을 통해 얻어진 삼각요소의 크기는 제각각 일 수 있으며 입자의 크기보다 삼각요소의 크기가 클 경우 접촉 판별 과정에서 비효율적 일 수 있다. 삼각요소의 크기를 입자의 크기와 유사하게 만들어 주기 위해 Fig. 3과 같이 삼각형의 가장 긴 변을 결정하고 긴 변의 중심점과 긴 변에 포함되지 않는 점과 연결하여 삼각형을 분할하였으며 삼각형의 크기가 입자의 크기보다 작아질 때까지 반복하였다.

Fig. 2 
Normal vector and contact detection between particles and triangle element

Fig. 3 
Segmentation of triangle element

이산요소법을 기반으로 입자 모델링을 하였으며 강체 휠은 3D 형상을 삼각요소로 구성하여 모델링 하였다. 휠의 반경은 실험과 동일하게 100 mm의 반경을 가지며 알루미늄 재질을 적용하였다. 휠은 삼각요소 분할을 통해 약 53만 개로 구성된다. 휠 테스트 베드 시뮬레이션을 위한 입자 수는 약 100만개가 사용되었으며 입자의 지름은 1 mm의 지름을 가진다. 모델링된 입자와 강체 휠은 Fig. 9에 나타내었다. 휠 테스트 베드 주행 시뮬레이션을 위해 H-body, V-body, Wheel이 모델링 되었으며 Table 3은 각 바디의 질량과 관성 모멘트를 나타낸다. 입자와 입자, 입자와 경계면의 접촉 파라미터는 Table 4에 나타내었다. 입자와 휠 접촉은 점착력을 제외한 파라미터를 모두 동일하게 하였으며 점착력은 0으로 하였다. 본 연구에서 사용된 프로그램은 GPGPU 기반의 병렬 프로그래밍의 한 방법인 CUDA를 사용하여 개발된 프로그램이며 다물체 동역학과 대량 입자 간의 연성해석이 가능한 프로그램이다.⁹⁾

Fig. 9 
Simulation of wheel test bed

휠 테스트 베드 시뮬레이션은 진행방향(-X)으로 10 mm/s의 속도와 휠의 회전속도 0.1(rad/s)를 적용하여 슬립율 0일 때의 주행 시뮬레이션을 수행하였다. 시뮬레이션 시간은 4.5(s)로 0.5초 동안 휠을 낙하 후 안정화하여 실험과 동일하게 4초간 주행하였다. 실험에서 계측된 수직력과 견인력은 5번의 실험에서 동일한 시간에 측정된 힘들의 평균으로 나타내었다. Fig. 10과 Fig. 11은 실험에서 계측된 평균 수직력과 견인력 시뮬레이션에서 계산된 수직력과 견인력을 비교한 그래프이다. 실험과 시뮬레이션에서 도출된 수직력과 견인력은 시뮬레이션에서 계측된 힘의 정밀도를 표현하기에 적합한 RMSE(Root Mean Square Error)값으로 비교하였다. 수직력의 RMSE값은 16.8 N의 값이 도출되었으며 실험에서 측정된 수직력과 편차가 작은 것을 확인하였다. 견인력의 RMSE값은 26.5 N의 값으로 수직력의 RMS값보다 큰 편차를 가지는 것을 확인하였다.

Fig. 10 
Comparison of vertical force

Fig. 11 
Comparison of drawbar pull

실제 발생되는 견인력은 모래지 노면을 이루는 입자의 내부 배열, 노면의 다짐 정도에 따라 견인력에 큰 영향을 준다. 시뮬레이션에서 실제와 동일한 모래지를 구현하지 못하여 오차가 크게 발생하였다. 이러한 오차를 줄이기 위해서는 입자의 배열과 구 형상으로 표현된 입자를 실제 모래알갱이와 유사한 형태를 통한 입자의 표현이 필요하다고 판단된다. 입자가 구 형상이 아닌 실제 모래 알갱이와 같은 형상을 가지게 된다면 기하학적인 형태로 발생되는 힘을 묘사할 수 있다고 판단되기 때문이다. 주행거리에 따른 평균 침하량의 비교 그래프는 Fig. 12에 나타내었다. 실험에서는 40 mm 진행거리를 이동함에 따라 약 7 mm의 침하량을 보여줬으며 시뮬레이션에서는 약 9 mm의 침하량을 보여줬다. 휠이 주행함에 따라 실험과의 침하량 차이가 점점 발생하는 것을 볼 수 있는데 이 차이는 진행 방향의 힘의 오차가 발생하게 되면서 침하량의 차이가 발생한 것으로 판단된다.

Fig. 12 
Comparison of sinkage