기어 굽힘 응력을 계산하는 AGMA2001-B88 규격의 이론식은 일단지지보로 가정되며, 기어 응력에 영향을 주는 주요 인자를 포함하고 있다. 다음 식 (2)는 본 연구에서 사용한 굽힘 응력 계산식을 보여주고 있다.

여기서, F_t : tangential component of load

　K_o : overload factor
　K_v : dynamic factor
　K_s : size factor
　b : width of gear tooth
　m : module of gear
　K_H : load distribution factor
　K_B : reem thickness factor
　J : geometry factor of bending stress

과하중 인자는 외부 작동 하중의 거칠음을 고려하여 굽힘 응력을 보정해 주며, 동적 인자는 치형의 오차, 회전 요소의 관성, 이의 강성 등의 영향을 보정하며 AGMA Quality Number와 피치 선속도에 의해 결정된다. 크기 인자는 기어 재료의 불균일성을 보정하며, 하중분포 인자는 기어 치형의 가공오차, 기어 구성 요소의 정열오차, 가해진 하중에 의한 변형, 열과 원심에 의한 효과로 인한 비틀림을 보정한다. 굽힘 응력 치형계수는 이의 형상, 최대하중이 작용하는 위치, 기하학적인 형상에 기인한 응력집중, 기어 이의 접촉선에 따른 하중의 분배를 평가하여 보정한다. 다음 식 (3)은 헬리컬 기어의 굽힘 응력 치형계수 계산식이다.

여기서, Y : tooth form factor(Y=πy)

　y=0.154-0.912/n
　y : tooth form factor, n : tooth number
　C_v: helical overlap factor
　K_f: stress modifier
　m_N : load sharing ratio(m_N=pn0.95Z)
　pn: normal pitch, Z : length of action line

3.5톤 상용차용 트랜스퍼 케이스의 3D 형상은 다음 Fig. 1과 같다. 동력의 입력과 분배를 위한 입력, 공전 및 출력 축으로 구성되어 있으며, 공전 축에 저단으로 감속하여 동력을 전달할 수 있는 헬리컬 기어가 장착되어 있다. 고단에서 작동 시 3개의 헬리컬 기어가 맞물려 동력을 전달하고 저단에서 작동 시 4개의 헬리컬 기어가 맞물려 동력을 전달하게 된다. 충분한 강도를 갖는 기어 설계를 위해서는 큰 동력을 전달하는 저단의 작동 조건을 고려하며, 기어의 파손 및 마모에 충분한 강도를 갖는 기어 크기와 형상을 검증하였다.

Fig. 1 
Transfer case for the 3.5T commercial vehicle

본 연구에서 사용된 저단 헬리컬 기어의 구성 및 상세한 내용이 Table 1에 정리되어 있다. TC 전달 동력과 속도를 고려하여 기어의 모듈을 4로 동일하게 하였으며 기어의 크기와 이의 개수를 조정하여 감속 및 원하는 토크를 얻도록 설계되었다.

변속기로부터 동력을 받아 전, 후 차축에 분배하는 3.5톤 상용차용 트랜스퍼 케이스의 핵심부품인 입력, 공전, 출력 축 헬리컬 기어의 설계 검증을 위하여 기어 소재, 크기, 형상에 대한 검토가 충분히 이루어져야 한다. 기초 설계된 헬리컬 기어의 검증을 위하여 ANSYS workbench 16.1을 활용하여 해석을 진행하였다. 기어해석 모델은 CATIA V5를 이용하여 입력, 공전, 출력 축 기어 단품 및 조립 형상을 모델링하였다. 동력전달을 위한 구성요소 중 헬리컬 기어 축, Hole, Edge rounding 등 해석 결과에 영향이 적은 요소들은 메쉬 생성 과정의 오류나 해석 시간의 단축을 위하여 제거하거나 단순화 하였다. 다음 Fig. 2는 해석을 위한 단순화된 모델을 보여주고 있다.

Fig. 2 
Simplified analysis model of the TC

헬리컬 기어 설계에 사용된 소재는 기어 소재로 많이 사용되는 구조용 크롬강 SCR420H를 사용하였으며, 기계적 물성은 Young’s modulus 205 GPa, Poisson ratio 0.29, Yield strength 690 MPa의 물성을 갖으며, 입력, 공전, 출력 기어는 동일한 소재로 설계하였다.

헬리컬 기어 굽힘 응력 해석 모델의 메쉬는 솔리드 설계에 주로 적용되는 3D 요소인 10노드 Tetra mesh를 적용하였다. 기어의 크기, 해석의 정확도와 시간을 고려하여 기어 이뿌리 부분은 Face mesh 기능을 사용하여 0.7 mm의 조밀한 메쉬를 적용하였다. 기어 이 사이는 접촉은 미끄러짐을 허용하는 “No separation” 접촉 조건을 공전축의 입력과 출력기어 사이의 공전 축은 강체로 가정하였으며 축은 회전이 가능하도록 하였다. 입력 토크는 입력 축에 300 Kgf･m를 적용하였으며, 출력 축은 완전 고정하여 동력 전달 과정에서 이뿌리에 작용하는 굽힘 응력의 변화를 보고자 하였다. Fig. 3은 해석 모델의 메쉬 및 경계 조건을 보여주고 있다.

Fig. 3 
Mesh and constraints of the analysis model

Lewis, AGMA 굽힘 응력 결과를 비교하기 위하여, 입력 토크 값으로부터 접선방향 전달력을 계산하였고 헬리컬 기어의 나선 각을 고려하여 이 폭을 계산하였다. 또한, Lewis 식의 치형 계수와 AGMA식의 과하중 인자, 동적 인자, 하중분포 인자 및 굽힘 응력 치형계수 값을 계산 및 표로부터 선정하였다. 입력토크 300 Kgf･m로부터 입력 축 기어에 작용하는 접선방향 전달력을 계산하면 입력 축 기어와 공전축 기어에 73,213 N의 출력축 기어에는 97,618 N의 전달력을 받게 된다. 또한, 나선각 17.5°를 고려하여 이 폭을 계산하면 38.8 mm이다. 과하중 인자는 표에서 Light shock, uniform의 1.25를 선정하였으며, 동적 인자는 정밀한 기어를 가정하여 1.15를 선정하였다. 크기 및 림두께 인자는 일반적인 기어에 적용되는 1을 선정하였으며, 하중분포인자는 1.15를 선정하였다. 루이스 식의 치형 계수는 압력각 20°를 고려하였으며, 본 연구 굽힘 응력의 치형 계수는 하중분담비 0.8, 응력보정계수, 헬리컬 오버랩 계수 등을 고려하였다. 굽힘 응력 계산에 사용된 인자를 Table 2에 정리하였다.

Table 2의 인자를 바탕으로 계산된 굽힘 응력은 공전 축 기어(27T)에서 Lewis 식에 의하여 계산된 굽힘 응력 1,302 MPa, 본 연구의 계산식에 의한 굽힘 응력 1,301.7 MPa로 설계된 것을 확인할 수 있었다. 맞물린 기어에서 기어의 크기가 증가함에 따라 치형 계수가 증가하여 굽힘 응력은 미세하게 작은 값을 얻었다. 입력, 공전, 출력 축의 각 기어 제원으로부터 계산된 굽힘 응력을 아래 Fig. 4에 보여주고 있다. 기어 모듈이 4와 5일 경우를 비교하여 보였으며, 모듈 5에서 매우 양호한 굽힘 응력을 보여주고 있으나 기어 이가 커지게 된다. 또한, 기어 피치원의 크기가 작을수록 동일한 접선력에서 미세하지만 큰 굽힘 응력이 계산되어 큰 기어와 맞물려 동력을 전달할 때 작은 기어에 큰 힘이 가해짐을 알 수 있다. Fig. 5는 이 폭에 따른 굽힘 응력의 변화를 보여주고 있으며 이 폭이 증가할수록 굽힘 응력이 작아지는 경향이 있다.

Fig. 4 
Stress results of the Lewis, AGMA equation

Fig. 5 
Stress results according to gear width

3.5T 동력전달용 TC의 헬리컬 기어의 굽힘 응력을 이론식을 통하여 계산하였으며 공전 축 기어에서 최대 1,302 MPa의 굽힘 응력이 계산됨을 알 수 있었으며 모듈, 기어 잇수 및 폭의 변화에 따른 응력 변화를 살펴보았다. 이론식에 의한 굽힘 응력 계산은 치형 계수의 선택이나 이 폭의 설계에 따라 요구하는 동력을 전달할 수 있는 적정한 기어를 설계하는데 도움을 주게 된다.

TC 저단에서 굽힘 응력 해석 결과 입력 축 기어 1,302 MPa, 공전 축 기어(38T) 1,099 MPa, 공전 축 기어(27T) 1,468 MPa, 출력 축 기어 1,473 MPa의 최대 Von Mises 응력이 발생하였다. 전체 기어에서 최대 굽힘 응력은 출력 축(42T) 기어에서 1,473 MPa이 발생하였으며 이는 열처리 후 소재의 항복 응력 1,572 MPa(표면처리 후 경도 HRc 59 환산 값)보다 작은 값으로 충분한 강도를 갖도록 설계된 것을 확인하였다. 기어 이에 작용하는 굽힘 응력은 인장보다는 압축을 받는 부분에서 좀 더 크게 발생하였다. Fig. 6은 조립 기어의 해석 결과를 보여주고 있다.

Fig. 6 
Stress analysis results of the transfer case model

출력 축 기어에 작용하는 전달토크는 입력토크 대비 186 % 증가된 558 Kgf･m로 출력 축 기어와 맞물린 기어에서 굽힘 응력이 크게 발생함을 알 수 있었다. Fig. 7은 각 기어의 굽힘 응력 계산 결과를 보여주고 있다.

Fig. 7 
Maximum bending stress results of the individual gear

AGMA 규격을 바탕으로 본 연구에서 적용한 이론식의 굽힘 응력 계산과 FEM 해석 결과를 비교했을 때 이론식이 작은 응력 값을 보이며, 입력 축 기어를 제외하고는 유사한 경향을 확인할 수 있었다. 또한, 헬리컬 기어의 FEM 해석은 접촉, 경계 조건 따라 결과에 차이가 있으며, 굽힘 응력 계산에서 기어 이의 접촉조건이 “Bonded”보다 “No separation” 조건에서 이론식과 좀 더 근접한 결과를 얻을 수 있었다. Fig. 8에서와 같이 이론식과 해석의 차는 입력 축 기어를 제외하고는 15 % 범위에서 유사한 결과를 얻었다.

Fig. 8 
Bending stress results of the FEM and AGMA equation