일반적으로 자기 유변 유체의 특성을 고려하기 위해 Bingham plastic, Bi-plastic Bingham, Herschel-Burkley (H-B) 모델이 많이 이용된다. 이 외에도 MR 유체의 비선형 유변학적 특성을 설명하기 위한 Eyring, Casson, Papanastasious, Papanastasious-Herschel-Bulkley와 같은 모델⁸⁾들이 있지만 많은 매개변수, 복잡한 특성 및 복잡한 계산으로 인하여 댐퍼 설계 단계에서 이용하기엔 적합하지 않은 모델들이다. 따라서, 본 연구에서는 MR 유체의 특성을 모델링하기 위해 Bingham plastic, Bi-plastic Bingham, H-B 모델을 검토하였다. 3가지 모델을 이용한 전단응력 방정식은 각각 식 (1), 식 (2), 식 (3)으로 주어진다.

τ₀는 항복 전(Pre-Yield) 영역의 정적 항복응력, τ₁은 항복 후(Post-Yield) 영역의 정적 항복응력, τ₂는 항복 후 영역의 동적 항복응력, μ는 항복 전의 유체 점도, μ_r는 항복 후의 유체 점도(Viscosity), m은 유동 거동 지수(Flow index)이다. 3가지 모델이 보이는 전단률-전단응력 관계는 Fig. 1로 확인할 수 있다.

Fig. 1 
MR fluid models

Fig. 2는 개발 중인 MR 유체의 전단률-전단응력 실험 데이터와 모델링의 비교 검증 결과이며, MR 유체의 전단응력 실험 결과는 점으로, 모델은 점선으로 표시하였다.

Fig. 2 
MR fluid data modeling

Fig. 2(a)와 식 (1)에서 Bingham plastic 모델은 저전단률에서 신뢰성을 확보할 수 없는 것을 확인하였다. Fig. 2(c)와 식 (3)의 H-B 모델은 유동 거동 지수(m)으로 전단 박화/ 농화 효과를 설명할 수 있으나, 실험 결과가 m=1에 가까워서 큰 의미가 없다.

Fig. 2(b)와 식 (2)의 Bi-plastic Bingham 모델은 Bingham plastic 모델에 항복응력 비를 추가한 모델이고 근사적으로 전단 박화/농화 효과를 보인다. MR 유체의 실험 데이터로 확인할 수 있듯이 MR 유체는 항복 전, 후로 전단응력의 변화 특성이 다르다. Bi-plastic Bingham 모델은 항복(Yield point) 전, 후의 전단응력의 변화 특성을 비교적 잘 설명할 수 있다. 또한, 무차원 변수를 이용한 감쇠력 방정식을 얻을 수 있어, Bi-plastic Bingham 모델이 MR 유체의 특성을 나타내는 데에 용이함을 확인하였다.⁹⁾

MR 유체를 모델링하여 전단률-전단응력 실험값에서 속도-힘 관계를 얻기 위해서는 일련의 과정이 필요하다. 본 연구는 댐퍼의 감쇠력 예측을 위해 Goldasz 등⁹⁾의 모델링 과정을 참고하였다. 복잡한 유동 방정식을 간단하게 만들기 위해 무차원 변수를 활용한다. 식 (4)의 변수는 압력 변수(Pressure number), 가소 변수(Plastic number)이다.

여기서, L은 전자석 몸체의 축 방향 길이, Q_a는 유량(Volume Rate), w는 전자석 몸체의 원주 둘레이다. 체적 유량, 압력 구배를 무차원 매개변수와 댐퍼의 대칭성 등을 이용하여 피스톤의 Bi-plastic Bingham 모델의 유로의 입 출구 압력차를 구할 수 있다.¹⁰⁾

위 식은 각각 S<S₀(항복 전), S≥S₀(항복 후)구간에서 유로의 압력의 차이이다. 여기서 γ는 점도 비(μ/μ_r), δ는 항복응력 비(τ₁/τ₂), S₀는 γ(2 − 3δ + δ³), x, y, x′, y′는 식 (6)으로 주어진다.

식 (5)를 실제 유로 면적에 적용하여 얻은 감쇠력에 마찰력, 관로저항을 추가한다면 최종적으로 다음의 항복 전, 후로 댐퍼 감쇠력 수식을 얻을 수 있다.

여기서F_damp는 댐퍼의 감쇠력, V_p는 피스톤의 속도, C_p는 관로 저항계수, μ₀는 자기장을 가하지 않았을 때의 유체의 점도, h는 유로의 폭, A_eff는 유로의 면적,L_a는 코어에서 전자석을 제외한 길이, F_f는 마찰력이다.

댐퍼의 형상은 유로의 폭, 피스톤(Piston)의 직경, 코일의 직경, 로드(Rod)의 직경 등으로 결정된다. 본 연구에서는 설계 형상을 기반으로 자기장 해석을 진행하기 때문에 댐퍼의 설계 파라미터를 입력으로 받아 감쇠력 예측 및 자기장 해석의 기본 환경을 구축한다. Fig. 3(a), Fig. 3(b)은 각각 듀얼 타입 댐퍼 형상과 자기장 해석에서 사용하는 형상 입력 치수이다.

Fig. 3 
MR damper design parameter (double coil type)

본 연구에서는 FEMM을 통해 입력된 댐퍼 형상에 따른 자기장을 해석하였다. FEMM은 기계 가공이나 열처리의 영향을 배제했기 때문에 높은 신뢰도를 확보하기 어렵지만¹¹⁾ 유체의 B-H 특성, 댐퍼 피스톤 형상의 재료 선정을 통해 대략적인 자속밀도를 효과적으로 얻어낼 수 있으므로, 설계 단계에서 예측값을 구하는 데에는 효율적일 것으로 판단하였다. FEMM에 입력된 MR 유체의 B-H 특성은 Fig. 4에 나타났으며, MR 댐퍼의 재료의 입력은 Fig. 5처럼 FEMM에 입력한다.

Fig. 4 
MR fluid magnetic flux density vs. Field strength (B-H) property

Fig. 5 
MR damper piston material property

유체 특성, MR 댐퍼의 재료 및 형상 입력으로 유한요소 해석을 수행하면 Fig. 6의 자기장 해석 결과가 나타난다. 자기장 해석 수행 후 MR 유체가 통과하는 관로의 평균 자속밀도 값을 계산할 수 있다.

Fig. 6 
Magnetic field analysis result

Table 1은 FEMM 해석 결과 Fig. 7의 결과로 얻은 전자석에 주어진 전류별 관로의 평균 자속밀도(B)이다.

Fig. 7 
Given MR fluid data

반면에 MR 유체 제작 업체로부터 제공받은 데이터 Fig. 7은 특정 자속밀도에 대한 전단률-전단응력 데이터로 한정되어 있다. 자속밀도 해석의 값과 일치하지 않으므로, 제한된 데이터에서 해석에 필요한 자속밀도의 전단률-전단응력 데이터를 얻는 것이 필요하다.¹²⁾

본 프로그램에서는 한정된 유체 데이터를 얻기 위해서 MATLAB을 사용해 Fig. 8과 같이 간단한 선형보간법을 사용하였다. Fig. 7에서 알 수 있듯이 비선형성이 높은 구간에서 더 정확한 예측을 위해서는 주어진 데이터 기반으로 가상 자속밀도에서의 전단률-전단응력 데이터를 얻기 위해 추가적인 연구가 필요하다.

Fig. 8 
Linear interpolation

유체 실험 데이터의 모델링을 통해서 점성 비(γ), 항복응력 비(δ)을 얻기 위해서는 정확한 전단응력 데이터가 필요하다. 댐퍼의 작동속도를 고려하면 최소 1,000(1/s)에 근사하는 높은 전단률까지 필요하다. 또한, 낮은 전단률 구간에서 항복점이 결정되며, 0(1/s)에서 정적 항복응력(τ₁)이 큰 영향을 미치기 때문에 저속 전단률 구간의 자세한 측정도 필수적이다.

모델에서 항복점 지정과 정적 항복응력(τ₁)은 점성 비(γ), 항복응력 비(δ)에 실질적인 영향을 가장 많이 준다. 실험 데이터에서는 명확하지 않은 항복점을 선정하여 항복 이전과 이후 구간으로 구분하는 데에는 정형화된 과정이 존재하지 않으며 연구자, 데이터마다 다양하며, 이에 따라 결과가 크게 달라진다.¹²⁾ 실제로는 유체에서 정확한 저속 전단률의 필요성을 살펴보기 위해, 개발 중인 동일한 유체에 대해 두 번의 측정한 결과가 Fig. 9이다. Fig. 9(a)는 10(1/s) 이하 데이터가 없는 경우, Fig. 9(b)는 10(1/s) 이하 데이터가 있는 경우이다.

Fig. 9 
Shear rate-Shear stress

전체 데이터 영역에서 10(1/s)이하 데이터는 비교적 짧은 구간이지만, 점도 비(γ)에 큰 영향을 미친다. 정적 항복응력(τ₁)은 실험 데이터 중 최저 전단률에서 근사적으로 구해지기 때문에 두 경우에서 큰 차이를 보여, 결과적으로 점도 비(γ)와 항복응력 비(δ)에 영향을 주게 된다.

Fig. 10(a), (b)은 각각 Fig. 9(a), (b)의 모델을 2.2절의 과정을 통해 계산한 예측 감쇠력(실선)과 제작된 댐퍼의 실험에서 측정한 감쇠력(점선)이다. 식 (7)에서 댐퍼의 마찰력과 관로 저항은 고려하지 않았다. Fig. 10(a)의 예측 감쇠력은 저속에서 실험 감쇠력의 경향을 전혀 따라가지 못하지만, Fig. 10(b)은 비교적 높은 유사성을 보인다.

Fig. 10 
Predicted damping force vs. Measured damping force

Fig. 9(a)에서는 항복점(Yield point)를 지정하기엔 한정적이고, 지정하더라도 항복 전 구간과 항복 후 구간의 점도(선형 기울기)의 차이가 크게 나지 않아, 점도 비가 큰 값을 가지고 항복 후 정적 항복응력(τ₁)도 크기 때문에 항복응력 비도 큰 값을 가진다. 점도 비(γ)가 클수록 감쇠력(F-v)선도의 꺽이는 지점이 높아지는 영향이 있고, 항복응력 비(δ)가 클수록 0(m/s)에서 감쇠력이 증가하는 영향을 보인다. 전체 전단률에서 적은 영역의 유무가 미치는 영향을 보인 Fig. 10(a), Fig. 10(b)의 비교를 통하여 저전단률 구간의 중요성을 파악할 수 있다.

Fig. 10(b)도 약간의 오차를 보인다. 원인으로 추정되는 몇 가지 요인은 다음과 같다. MR 유체의 비선형성을 선형 모델링 과정의 한계, 전단률의 항복점 선정의 불명확성, 자기장 해석 오차 등에 따른 오차를 예상할 수 있다.

Table 2는 댐퍼의 마찰력과 관로저항 등을 고려하여 감쇠력 계산에 사용한 데이터이다. 점성 측정 장치에서 자속밀도(B)가 0.5 T 이상은 측정이 불가능하였기 때문에 그 이상의 자속밀도 영역은 특성 파라미터를 0.5 T와 동일하게 입력하였다.

Fig. 11은 예측 감쇠력(실선)과 제작된 댐퍼의 실험에서 측정한 감쇠력(점선)으로 저속 부분에서 고속에서 비해 큰 차이를 보이나 정확한 유체 데이터를 확보한다면 보완할 것으로 예상된다. 설계 단계의 예측한 값으로는 적합한 수준으로 판단된다.

Fig. 11 
Predicted damping force

시뮬레이션으로 예측한 감쇠력과 제작된 댐퍼의 실험에서 측정한 감쇠력를 비교하면 Table 3과 같다.