Current Issue

현재 사용되고 있는 기계라고 하더라도 그 효율을 높이기 위해 운전 조건에 따라 가변적인 운동이 필요한 경우가 있다. 로봇 등을 제외하면 대부분의 기계·기구는 1자유도 기구로, 기구의 운동 속도 조절을 제외하면 동일한 형태의 운동을 수행한다. 기계의 효율과 활용성을 높이기 위한 한 방법으로 2자유도 가변 기구(Adjustable mechanism)의 사용을 들 수 있으며, 가변 행정 펌프(Variable displacement pump)¹⁾와 가변 압축비 엔진(Variable compression ratio engine)²⁾ 등이 그 좋은 예이다.

설계자가 지정한 입·출력 관계를 만족하는 2자유도 기구의 링크 길이와 피봇 위치를 결정하는 치수 합성(Dimensional synthesis)은 어려운 문제이다. 이러한 문제의 해법으로 우선 1자유도 기구를 설계한 후, 이 기구에 링크와 조인트를 추가하여 2자유도 기구를 설계하는 방법을 사용할 수 있으며, 이러한 경우에는 요구되는 운동을 만족하는 1자유도 기구의 기구학적 설계가 중요하다고 할 수 있다.

예를 들면, Fig. 1(a)의 1자유도 스티븐슨 III 6절 슬라이더-크랭크 기구에 링크와 조인트를 각각 하나씩 추가하면 Fig. 1(b)에서 보는 것과 같은 2자유도 기구가 되며, 추가된 링크에 입력을 가하여 위치를 변경시켜주면 가변 기구로 사용할 수 있다

Fig. 1 
(a) Stephenson III 6-bar slider-crank mechanism (b) Two-DOF 7-bar slider-crank mechanism

본 논문에서는 이러한 가변 운동 기구 설계의 전 단계로 Fig. 1(a)의 1자유도 스티븐슨 III 6절 슬라이더-크랭크 기구를 함수 생성기(Function generator)로 사용하는 경우에 대한 치수 합성을 수행하였다.

기구를 구성하는 모든 조인트가 회전 조인트로 이루어진 스티븐슨III 6절 기구의 치수 합성에 관하여 Dhingra 등³⁾은 동위(Homotopy) 다항식 알고리즘을 이용하여 9개의 정밀 점(Precision point)을 지나는 함수 생성기의 합성법을 개발하였으며, Plecnik과 McCarthy⁴⁾는 동위 다항식을 이용하여 최대 11개까지의 정밀 점을 지나는 함수 생성 기구에 대한 합성법을 제시하였다. 최적 설계와 관련하여 Shiakolas 등⁵⁾은 차등진화(Differential evolution) 알고리즘을 사용하여 드웰(Dwell) 및 드웰 기구의 운동조건을 갖는 6절 기구의 최적 설계 방법을 제안하였으며, Bulatovic 등⁶⁾은 메타 발견적 학습 알고리즘인 뻐꾸기 탐색(Cuckoo search) 알고리즘을 활용하여 6절 이중 드웰 기구의 구조적 오차를 최소화하는 최적 설계를 하였다.

본 논문에서는 설계자가 지정한 크랭크의 회전각에 대한 피스톤 위치를 근사적으로 만족시키는 스티븐슨 III 6절 슬라이더-크랭크 기구의 치수를 구하기 위해 유전 알고리즘(Genetic algorithm)을 이용한 근사 치수 합성법(Approximate dimensional synthesis)을 제안하였다.

본 연구에서는 Fig. 2의 스티븐슨 III 6절 슬라이더-크랭크 기구의 각 조인트의 위치를 다음과 같이 구하였다. 우선, 링크 r₀, r₁, r₂, r₃로 이루어진 4절 기구에서 r₁의 회전각 θ₁에 대한 r₃와 r₂의 회전각 θ₃ 와 θ₂는 각각 다음과 같이 구할 수 있다.⁷⁾

Fig. 2 
Skeleton diagram of Stephenson III 6-bar slider-crank mechanism

여기서

a = 2r₀r₃cosθ₀ - 2r₁r₃cosθ₁
b = 2r₀r₃sinθ₀ - 2r₁r₃sinθ₁
c = r02+r12+r32-r22 - 2r₀r₁(cosθ₀cosθ₁ + sinθ₀sinθ₁)

이고, -π ≤ θ₃ ≤ π 이다. 식 (1)에서 보는 것과 같이 θ₃는 두 개의 해를 가지며 이는 4절 기구가 서로 다른 두 개의 조립 방법(Assemble mode)을 갖기 때문이다. 링크 r₂의 각 변위는 다음과 같이 구할 수 있다.

따라서 4절 기구의 각 조인트 위치는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

위의 4절 기구 해석 결과를 이용하여 Fig. 2의 조인트 C의 위치는 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 커플러 링크의 사잇각 α는 링크 r₂, r₄, r₅의 길이가 주어지면 코사인 법칙을 이용하여 구할 수 있으며, 조인트 C의 좌표를 이용하면 피스톤 조인트 P의 좌표를 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 e는 y축으로부터 피스톤 조인트 P까지의 거리인 오프셋(Offset)을 나타낸다.

본 절에서는 Fig. 2의 기구에 대해 설계자가 지정한 r₁링크의 회전각 θ₁에 대한 피스톤 조인트 P의 위치를 근사적으로 만족시키는 함수 생성 기구의 치수를 결정하기 위해 다음과 같은 유전 알고리즘을 이용한 근사 치수 합성법을 제안하였다

본 절에서는 위에서 설명한 유전 알고리즘을 적용하여 설계자가 지정한 입·출력 관계인 지정 위치(Prescribed positions)를 근사적으로 만족하는 스티븐슨 III 6절 슬라이더-크랭크 기구의 치수를 합성하였다. 제안하는 방법을 사용하면 지정 위치 수의 제한이 없으나 본 예에서는 5개의 위치를 지정하였으며, 지정 위치, 구속 조건 및 유전 알고리즘 매개변수는 Table 2와 같이 설정하였다.

피스톤 오프셋 값 e는 15 mm로 설정하였으며, 유전 알고리즘의 매개변수 중 인구수(Population size)는 재생산 과정에서 다음 세대로 번식을 해나가기 위한 부모세대의 수를 결정하는 인자로, 1,000세대가 룰렛 휠 방법을 사용하도록 하였다. 반복되는 재생산과 교배 과정 중에 잘못된 해에 수렴하는 것을 방지하기 위해 돌연변이 확률을 적용하였으며, 교배는 2점(Two point) 교배를 하도록 설정하였다. 세대 수(Generation)는 치수 합성 계산의 종료 조건을 나타내며, 지정한 세대 수까지도 치수 합성이 완료되지 않을 경우 자동으로 종료된다.

Table 2에 기술된 지정 위치 및 구속 조건에 의해 치수 합성된 스티븐슨 III 6절 슬라이더-크랭크 기구의 각 링크 길이와 θ₀는 Table 3과 같다.

Fig. 3은 치수 합성된 기구를 모델링한 기구의 형태와 기구의 크랭크가 360° 회전하는 동안 P의 y방향 위치인 P_y를 해석한 결과를 나타내며, Fig. 4는 P의 지정 위치와 치수 합성된 기구의 해석 결과에 따른 P_y의 위치를 나타낸다.

Fig. 3 
Synthesised Stephenson III slider-crank mechanism and the displacement of piston joint

Fig. 4 
Piston joint displacement of synthesized mechanism

합성된 기구 해석 결과, 설계자가 지정한 위치 P_dy와 합성된 기구의 피스톤 조인트의 위치 P_y 사이의 오차(%)는 Table 4와 같이 계산되어 치수 합성된 기구가 설계자가 지정한 위치를 매우 근사적으로 만족시키며 운동하는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 5는 본 예의 치수 합성이 진행되는 동안 계산된 목적함수, 즉 구조적 오차 값인 f(X)를 나타내며, 그 최종 값은 3.80×10^-5로 계산되었다.

Fig. 5 
Structural error, f(X), calculated during optimization

본 연구에서는 스티븐슨 III 6절 슬라이더-크랭크 기구의 크랭크 회전각에 대한 피스톤 조인트의 위치가 설계자가 지정하는 관계를 만족하는 함수 생성 기구의 치수 합성을 위해 기구의 위치 해석 식을 유도하고, 이를 이용하여 설계자가 지정한 피스톤 조인트 위치와 치수 합성된 기구의 피스톤 조인트 위치와의 차의 제곱의 합인 구조적 오차가 최소화되는 기구의 치수를 찾아내기 위해 유전 알고리즘을 이용한 근사 치수 합성법을 제안하였다.

제안하는 방법의 검증을 위해 5개의 지정된 위치를 근사적으로 만족하는 기구의 치수를 찾아내는 치수 합성을 수행하였으며, 합성 결과 설계자가 지정한 피스톤 조인트의 위치와 치수 합성된 기구가 생성하는 피스톤 조인트의 위치가 매우 근사함을 확인하였다.

일반적으로 기구의 치수 합성을 위해서는 기구가 만족해야하는 여러 개의 지정된 위치에서 기구의 위치에 관한 연립 방정식을 세우고 이를 풀이하는 과정을 거쳐야 하나, 비선형 연립 방정식의 풀이가 쉽지 않아 해를 구하는 것이 어려운 경우가 대부분이다. 본 논문에서는 이러한 정밀 점 치수 합성법의 대안으로 유전 알고리즘을 이용한 근사 치수 합성법을 제안하였다.

본 논문에서는 유전 알고리즘을 이용한 기본적인 근사 치수 합성법의 설명을 위해 간단한 예에 대해 다루었으나, 치수 합성하고자 하는 기구의 전달 각(Transmission angle)의 제한 등과 같은 치수 합성 구속 조건의 사용이 가능하므로 본 연구에서 제안한 방법을 적용하면 다양한 경우에 대한 치수 합성이 가능할 것으로 기대한다.