심벌간 간섭 최소화를 위한 수정 올림 코사인 필터

1. 서 론

현실 세계에서 대부분의 신호는 이산화 되어 송수신 된다. 이산신호의 송수신 과정에서 아날로그(연속) 신호를 이산(디지털)신호로, 또는 그 반대로 변환하는 과정이 존재하고, 이 과정에서 적절한 필터의 선택은 매우 중요하다. 그러므로 필터의 잘못된 설계 또는 잘못된 적용으로 인한 신호 송수신 단계에서 발생하는 오류는 실시간으로 신호를 주고받을 필요가 있는 자율주행 또는 무인자동차 시스템, 로봇 등의 분야에서 치명적인 문제를 야기할 수 있다. 기저대역(이산) 신호 송수신 시스템에서 수신측은 샘플 시간(t=T_b)에 수신하는 신호의 크기로 수신 값을 판단한다(Fig. 1).

Fig. 1

Received signal is sampled at time Tb

현실적으로 신호, 채널, 필터 등은 유한 시간동안 정의됨과 동시에 대역폭은 제한되어 있다. 이러한 현실적 제한은 심벌 간 간섭을 야기한다. 심벌 간 간섭(Intersymbol interference, ISI)과 통신 채널에 존재하는 잡음은 통신 시스템 성능을 열화시키는 주된 원인이다.^1,2) 채널의 잡음이 없는 이상적인 경우를 가정하더라도, 송신되는 신호를 정형화 하는 필터(Pulse shaping filter)에 의해 일그러짐이 발생하고, 이는 ISI 발생을 야기한다. 그러므로 수신측에서 받은 신호를 오류 없이 복원하여 원래의 송신된 신호를 검출하는 것이 통신 시스템의 중요한 목표중 하나이다. 이 목표를 달성하기 위해 다양한 연구들이 진행되고 있으며 수신측에서 원래 송신된 신호를 복원하기 위한 샘플링 이론이 제안되었으며 이를 섀넌-나이퀴스트 샘플링 이론이라 한다.²⁾ 본 논문에서는 ISI를 최소화 또는 제거할 수 있는 펄스 정형화 필터(Pulse shaping filter)를 제안하고, 구체적으로는 제안하는 필터의 시간영역 및 주파수 영역에서의 수학 모델 제시 및 특성을 분석하고, 일반적인 신호에 적용하여 본다. 본 논문에서 “적용”은 두 신호의 컨벌루션 연산으로 정의한다.¹⁾ ISI를 제거할 수 있는 펄스 정형화 필터 중 가장 이상적인 것은 시간영역에서 직사각형(Rectangular) 또는 주파수 영역에서 직사각형의 형태를 가지는 필터이다. 시간영역에서의 직사각 필터는 주파수 영역에서 싱크 함수로 표현되고, 이 두 개의 관계는 퓨리에 변환으로 표현할 수 있다. 송신되는 이산 신호의 시간간격(Bit interval)이 T_b일 때 이상적인 나이퀴스트 필터는 단위시간(초)당 R_b비트 (R_b bits/sec 또는 bps)를 검출하기 위해 R_b/2[Hz] 의 대역폭이 필요하다. 즉, 이론상으로 R_b/2 Hz의 대역폭을 가지는 필터 시스템은 ISI 없이 최대 R_b bits/sec의 전송률을 가질 수 있다. 나이퀴스트 샘플링 이론으로 설명할 경우, 에일리어싱(Aliasing)을 방지하기 위해서 필요한 최소한의 샘플링 주파수(f_s)는 R_bHz이다(f_s≥2W, W=R_b/2).²⁾ 나이퀴스트 채널 필터(Nyquists channel filter)는 ISI를 이론적으로 제거할 수 있지만, 현실적으로 이러한 필터를 구현하는 것은 불가능하다. 주파수 영역에서 표현된 나이퀴스트 필터는 직사각형의 모양을 나타낸다(Fig. 2).

Fig. 2

Frequency response of an ideal Nyquist channel filter.

그러나 완벽한 직사각형의 주파수 응답을 가지는 필터를 구현하는 것은 현실상 불가능 하다. 시간영역에서의 나이퀴스트 필터(H(f)의 역퓨리에변환)는 싱크(Sinc) 함수로 표현된다. 싱크함수는 무한한 시간동안 정의되는 함수이다. 현실적으로 어떠한 필터도 유한시간동안 표현이 되며, 이러한 현실적 특성이 ISI를 야기하는 요인 중 하나이다. 그러므로 나이퀴스트 필터는 현실적으로 구현하기 불가능하다는 결론을 내릴 수 있다. 그리하여 지난 수십 년간 현실적으로 구현 가능한 펄스 정형화 필터들이 연구되어 왔다.^3,4,10) 구현 가능한 필터들의 종류는 무한히 많을 수 있지만, 현실적으로 대역폭과 시간영역에서의 유한성이라는 조건을 만족해야 한다. 이러한 조건들을 만족하면서 이상적인 필터에 가까운 펄스 정형화 필터 설계에 대한 연구가 계속 진행되어 왔다. 기존에 많이 제안되고 사용된 필터들 중 올림 코사인 필터는 롤-오프 계수를 변경하면서 대역폭의 효율과 ISI 최소화를 모두 성취하였으나, 여전히 둘 사이에 트레이드 오프(Trade-off)가 존재한다.^5,6) 본 논문에서는 필터의 대역폭 활용을 최소화 하면서 ISI를 최소화 할 수 있는 수정된 올림 코사인 필터를 소개한다. 필터의 수학적 모델을 제시하고 시뮬레이션 결과를 제시한다. 또한 제시하는 필터는 신호처리에서 가장 중요하고 기본적인 영역을 담당하는 펄스 정형화 과정이므로 다양한 신호를 실시간으로 받아서 처리하는 자율주행 자동차, 로봇 등의 분야에서 반드시 필요하다.^7,8)

2. 올림 코사인 필터

이상적인 나이퀴스트 채널은 ISI 없이 대역폭 W Hz로 최대 2W bits/s 의 데이터 전송률을 확보할 수 있다.²⁾ 서론에서 설명했듯이 나이퀴스트 필터는 현실적인 구현에 어려움이 있다. 이 현실적인 어려움을 완화하기 위해 ISI를 제거할 또는 최소화 할 수 있는 필터 설계에 대한 연구가 진행되어 왔다. 그 중 대표적인 필터들 중의 하나는 올림 코사인 필터이다.⁹⁾ 올림 코사인 필터는 나이퀴스트 필터와 비교하여 볼 때, 사용되는 대역폭을 조정할 수 있다. 그러므로 나이퀴스트 필터에 비해 대역폭의 초과 사용이 발생한다. 이 대역폭 조정은 롤-오프 계수(Roll-off factor)를 조정함으로서 가능하다. 식 (1)에서는 올림코사인 필터에 대해 나타내었다.

f,α,B는 각각 주파수 변수, 롤-오프 계수(Roll-off factor), 필터 H_rc(f)의 대역폭을 나타낸다. 그리고 롤-오프 계수가 커질수록 필터의 성능(심벌간 간섭이 없으면서 필터의 구현이 현실적인 것)은 좋아지지만 대역폭은 커진다. 롤-오프 계수가 0일 때의 대역폭 대비 롤-오프 계수가 1일때의 대역폭은 2배이며, 이렇게 늘어난 대역폭을 초과 대역폭이라 하며 $$ B-\left(\frac{1+\alpha }{B}\right)$$ 로 표현될 수 있다. 식 (1)에서 나타나듯이 올림 코사인 필터에서는 롤-오프 계수(식 (1)에서 α (0≤α≤1)가 커질수록 시간영역에서 싱크함수의 꼬리부분의 크기는 작아진다. 즉, 필터의 크기응답 성능이 좋아진다고 할 수 있다. 그러나 초과 대역폭의 크기는 커진다. 필터의 성능과 롤오프 계수 사이에 트레이드 오프(Trade-off)가 존재한다. 롤-오프 계수가 1일 때 올림코사인 필터는 완전한 코사인 필터(Full cosine filter)가 되며 이때 크기 응답이 영(Zero)를 거치는 시간은 ±kT_b 뿐만이 아니라 ±(0.5+k)T_b 에서도 영 교차(Zero crossing)가 발생한다. 그러나 나이퀴스트 필터 대비 2배의 대역폭을 사용해야 한다는 문제점이 있다. 롤-오프 계수가 0일 때에 H_rc(f)는 완전한 직사각형의 모양을 가진다. 제곱근 올림 코사인(Square root raised cosiner, SRRC) 필터는 ISI를 최소화 하기 위해 고안되었으며 식 (1)의 올림 코사인 필터와 SRRC 필터간의 관계는 다음과 같이 표현된다.

Zeng 등¹⁰⁾은 초광대역 통신에서의 신호 송수신에 적합한 필터를 제안하여 대역폭 사용의 효율을 개선하였다. Pal¹¹⁾은 올림 코사인 필터의 차수(Order)를 증가시키면서 필터를 날카롭게 하는 작업을 통해 Sharpened 올림 코사인 필터를 제안하여 그 성능을 크기응답으로 제시하였다. 다음 장에서는 본 논문이 제안하는 수정된 올림 코사인 필터를 소개한다.

3. 제안하는 방법

본 연구에서 제안하는 수정 올림 코사인 필터(본 논문에서는 제안하는 필터 이름을 Bandwidth-efficient raised cosine filter로 부르고, 약어인 BERCF 또는 BERC filter를 사용한다)는 기존의 필터 대비 대역폭을 효율적으로 활용하도록 설계하는 것을 목표로 한다. 기존의 올림 코사인 필터를 응용하여 설계한 BERCF의 수학적 모델은 두가지가 있다. 첫 번째 BERCF는 아래의 식과 같다.

식 (3)에서 제안한 방법은 f=B에서 고주파 성분을 가지고 있으므로 현실적으로 사용하기 어렵다. 이러한 단점을 보완하기 위해 기존의 올림 코사인 필터 모델이 대역폭을 효율적으로 활용할 수 있도록 수학모델을 식 (4)와 같이 제시하였다. 식 (4)는 식 (3)에서 나타나는 f=B 에서의 고주파 성분을 완화시킴으로서 좀 더 현실적인 필터 설계를 가능하게 한다. 본 논문에서는 식 (4)에서 표현된 필터를 사용하여 결과를 분석한다.

h_berc(f)의 시간영역에서의 응답함수는 h_berc(f)의 역퓨리에 변환(Inverse Fourier transform)을 함으로서 얻을 수 있다.

기존의 필터와 달리, 롤-오프 계수가 변하더라도, BERCF의 대역폭이 초과되지 않도록 설계하였다(Fig. 3). 시간영역에서의 필터 응답함수는 이상적인 싱크 함수 항과 추가 항으로 구성되어 있다. 식 (5)에서 h_berc(t)를 구성하는 요소인 $$ \frac{2B^2\pi t\text{sin}\left(2\pi Bt\right)}{{\pi }^2-{\left(2\pi Bt\right)}^2}$$에 의해, h_berc(t)는 기존의 올림코사인 필터 대비 성능의 차이가 발생한다.

Fig. 3

Proposed filter with varying roll-off factor(one sided plot)

h_berc(t)는 Fig. 3에서 나타나듯이 롤-오프 계수에 상관없이 대역폭 사용의 초과는 발생하지 않는다. 이러한 설계를 통해 대역폭 효율이 기존의 필터 대비 이론적으로 우세함을 확인할 수 있고, 롤-오프 계수가 작아질수록 이상적인 나이퀴스트 채널 필터에 가까워지고 계수가 커질수록 코사인 함수의 형태를 가지는 필터에 가까워진다. 그러나 어떤 형태를 가지더라도 제안한 필터에서 대역폭 사용의 초과는 발생하지 않는다. 대역폭의 효율성과 함께 가장 중요한 것은 펄스 정형화 필터로서의 성능이다. 다음 장에서는 일반 신호에 제안한 필터를 적용시킨 후 신호의 전력 스펙트럼 밀도로부터 신호가 가진 주파수 성분의 분해능을 확인하여 제안한 필터의 성능을 분석한다. 신호 s(t)를 제안한 필터에 적용한 결과는 식 (6)과 같이 표현된다.

∗는 컨벌루션을 나타내고, 주파수 영역에서는 두 신호의 퓨리에 변환한 결과의 곱셈과 같다.

S(f)와 h_berc(f)는 각각 s(t)와 h_berc(t)의 퓨리에 변환(Fourier transform)이다.

4. 실험 결과 및 분석

이 장에서는 3장에서 제안한 수정 올림 코사인 필터를 수학적 모델링에 근거하여 구현하고, 일반 신호를 필터에 통과시킨 후 전력 스펙트럼 밀도(Power spectral density, PSD)를 통해 분해능을 분석하여 그 성능을 평가한다.⁹⁾ 또한 원래 신호가 가진 주파수 성분과 비교한 결과를 제시하여 정확성을 확인한다. 시뮬레이션에 사용된 신호는 정현파 신호들의 합으로 표현되며 아래의 식과 그림으로 표현된다(Fig. 4).^12,13)

s(t)=0.4cos(104πt)+0.84cos(114πt)+0.7cos(124πt)+0.84cos(204πt)+0.21cos(234πt)+0.7cos(264πt)+0.84cos(344πt)+0.7cos(364πt)+0.4cos(384πt)

Fig. 4

Original signal s(t) in time domain

s(t)의 주파수 성분은 52 Hz, 57 Hz, 62 Hz, 102 Hz, 117 Hz, 132 Hz, 172 Hz, 182 Hz, 192 Hz이다. 과거에 자주 사용되었던 나이퀴스트(Nyquist or Rectangular) 필터 (h_rect(t)), 체비세브(Chebyshev) 필터 (h_cheb(t)), 버터워스(Butterworth) 필터 (h_butt(t)), 올림 코사인(Raised cosine) 필터 (h_rc(t)) 들을 s(t)에 적용한 후 전력 스펙트럼 밀도를 통해 주파수 성분 분해능을 아래 그림들과 같이 확인할 수 있다(Fig. 5 ~ Fig. 8).

Fig. 5

PSD of s(t) ∗ hrect(t)

Fig. 6

PSD of s(t) ∗ hcheb(t)

Fig. 7

PSD of s(t) ∗ hbutt(t)

Fig. 8

PSD of s(t) ∗ hrc(t)

제안한 필터 h_berc(t)의 롤-오프 계수 α를 변화시키면서 전력 스펙트럼 밀도를 확인하고, 이를 기존의 올림 코사인 필터와 비교한 결과는 Fig. 9와 Fig. 10에 나타나 있다.

Fig. 9

PSD of raised cosine filter(hrc(t) )

Fig. 10

PSD of the proposed raised cosine filter(hberc(t)) with α = 0.1, 0.15, 0.2, 0.25, 0.75

이 그림에서 보듯이, 전력 스펙트럼 밀도로부터 필터의 성능이 기존의 올림 코사인 필터보다 우세하지는 않지만, 주파수 분해능의 측면에서 볼 때는 경쟁력 있는 결과를 보여주고 있다. 다시 말해서 전력스펙트럼 밀도에서 부엽(Side-lobe)의 감소는 h_rc(t) 대비 열세하지만, 주파수 분해능(Resolution of frequency componenst)과 대역폭의 효율적 사용이라는 측면에서 보면 본 논문에서 제안한 필터가 경쟁력이 있다고 볼 수 있다.

Fig. 11 ~ Fig. 13의 결과에서 보면 제안한 필터 h_berc(t)에 s(t)를 통과시키면 주파수 성분의 분해능은 기존의 필터와 비슷한 성능을 보이고 있음을 확인할 수 있다. Fig. 5 ~ Fig. 8에 나타난 결과와 Fig. 11 ~ Fig. 13에 나타난 결과를 비교해 보면, 기존의 필터들의 사이드로브 감쇠량이 더 큰 것을 확인할 수 있다. 기존의 올림코사인 필터는 대역폭을 초과하여 사용하였으나, 제안한 필터는 대역폭 초과 없이 신호의 주파수 성분 분해 능력을 유지하고 있음을 확인할 수 있다. 그러나 사이드로브(Side-lobe)의 감쇠량은 기존의 필터 대비 열세임을 알 수 있다. 롤-오프 계수가 커질수록 제안하는 필터의 사이드로브 감쇠량은 커지므로, 필터의 설계에서 롤-오프 계수의 조정이 필요함을 알 수 있다.

Fig. 11

PSD of s(t) ∗ hberc(t) with α = 0.25

Fig. 12

PSD of s(t) ∗ hberc(t) with α = 0.5

Fig. 13

PSD of s(t) ∗ hberc(t) with α = 0.75

제안하는 방법의 정량적인 성능 평가를 위해 Table 1에 주파수 성분 분해 능력을 제시하였다. 표에서 보듯이, 제안하는 필터의 사이드로브의 감쇠량은 기존의 필터 대비 열세이지만 주파수 성분의 분해능은 롤-오프 계수에 따라 성능의 차이는 있으나, 원래의 상승 코사인 필터와 비교하였을 때, 비교경쟁력이 있다고 볼 수 있다. 또한 제안하는 필터는 기존 필터와 비교하였을 때 대역폭을 더 효율적으로 사용하였음을 감안하면, 롤-오프 계수의 조정을 통해 기존의 올림 코사인 필터보다 더 현실적이고 성능이 우세한 필터의 설계가 가능함을 확인할 수 있다.

Table 1

Resolution of spectral components

5. 결 론

본 논문에서는 기존의 올림 코사인 필터의 대역폭 초과 문제를 해결하기 위해, 새로운 필터의 수학적 모델을 제시하였다. 시뮬레이션 결과로부터 제안한 필터의 주파수 성분 분해능이 기존 필터 대비 열세하지 않음을 확인할 수 있었다. 그러나 제안한 필터의 전력스펙트럼 밀도에서 볼 수 있듯이 사이드 로브(Side-lobe)의 감쇠(Attenuation) 성능이 기존 필터보다 우세하지 않았다. 또한 본 논문에서 제안한 필터의 특성중 시간의 유한성에 대한 고려가 제대로 반영되지 않았다. 미래의 무인자동차, 자율주행 자동차 환경에서 안정적인 신호의 송수신은 매우 중요하다. 그러므로 본 논문에서 제시하는 내용인 디지털 신호의 펄스화 영역은 통신분야 뿐만 아니라 자동차 분야에서도 반드시 필요하다고 할 수 있다. 향후 진행할 연구에서는 사이드로브 감쇠 성능이 개선되고 시간영역의 유한성을 고려할 것이다.

Acknowledgments

본 연구를 진행하면서 도움과 격려를 주신 고(故) 주언경 교수님께 감사의 말씀을 드립니다.

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